MarianavahosTic29: Derivada. Primeros Teoremas(Derivada de una funcion constante, exponencial, de un producto de un cociente, de una raiz)

DERIVADA DE UNA FUNCION.
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

	Teorema
	La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

Si entonces
Si $f(x)= 5\sqrt{2}$ entonces
Si $f(x)= \frac{4}{5+\sqrt{2}}$ entonces

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

$E(x)=K \cdot a^x$

siendo $a, K \in \mathbb{R}$ números reales, $a\geq 0$ . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$

o como el límite de la sucesión:

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$

FUNCION DE UN PRODUCTO DE UN COCIENTE.

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, el cociente de f(x) y g(x), denotado por

, es otra función definida por

y g no puede ser igual a 0 por que tendriamos una indeterminación.

Ejemplo 4 Dadas las funciones $f(x)=\pm \sqrt{x-1}$ y $g(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , definidas en R, determinar $\frac{f}{g}(x)$ , e igualmente su dominio:

$\begin{displaymath}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac {\sqrt{x-1}}{\frac{1}{x^2-4}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{f(x)}{g(x)}=(\sqrt{x-1})(x^2-4)\end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}f(x)=\sqrt{x-1}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x-1\geq 0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x\geq 1\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}D_f=[1,+\infty)\end{displaymath}$

Y dominio de g(x):

$\begin{displaymath}g(x)=\frac{1}{x^2-4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x^2-4=0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x^2=4\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x=\pm 2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}D_g={x\in R\wedge x\neq \pm 2}\end{displaymath}$

Luego:

$\begin{displaymath}D(f/g)=[1,+\infty)-{-2,2}\end{displaymath}$

FUNCION DE UNA RAIZ

Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática recíproca.
Se puede anotar de las formas:
$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ .
Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:
$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$ .
En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

Cambiando de escala:

MarianavahosTic29

miércoles, 2 de noviembre de 2011

Derivada. Primeros Teoremas(Derivada de una funcion constante, exponencial, de un producto de un cociente, de una raiz)

No hay comentarios:

Publicar un comentario